|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Onbepaalde integralen
Onderzoek de waarheidswaarde van de volgende propositie, als het domein van x, y, z gehele getallen zijn:
Propositie: (Ax Ex Ez:: 13y-8z=2x)
Oplossing: Neem y=2x en z=3x dan 26x-24x=2x dus True
Mijn probleem: Hoe kom je nu op "y=2x" en "z=3x" en waarom niet y=5x en z=4x om maar iets te noemen?
Ook: Waar moet ik me in verdiepen om dit te snappen?
Antwoord
Hoi,
Dit ligt in het gebied van getaltheorie. Je kan hier veel literatuur over vinden.
Er bestaat een stelling die zegt dat als 2 gehele getallen a en b onderling ondeelbaar zijn, dus dat ggd(a,b)=1, dan er dan gehele y en z bestaan zodat ay+bz=1.
Voor je geval heb je a=13 en b=-8 met ggd(13,8)=1.
Er zijn een aantal methoden om y en z te berekenen in 13y-8z=1. Eén ervan sluit dicht aan bij het algoritme van Euclides dat je kent om de ggd te berekenen). In dit geval kan je het gewoon zien: 13.5-8.8=65-64=1. zodat 13.(5.2x)-8.(8.2x)=2x. Je kan dus nemen y=10x en z=16x.
Deze methode kan je veralgemenen en abstractie maken van 13, -8 en 2x.
In jouw specifieke geval kan je zien dat 2 een deler is van 2x en van 8z. 2 is geen deler van 13, dus moet y een 2-voud zijn. We schrijven y=2k en lossen op: 13k-4z=x. We vinden een oplossing voor 13k-4z=1: k=1 en z=3. Oplossingen voor 13k-4z=x zijn dus: k=x en z=3x. Oplossingen voor 13y-8z=2x zijn dus y=2x en z=3x.
De oplossingen naar y en z zijn dus niet uniek in functie van x...
Groetjes,
Johan
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
